المجسمات الهندسية

ما هي المجسمات الهندسية

تعريف المجسمات الهندسية، أو الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد، هي كل جسم أو كائن يشغل حيّز من الفضاء ثلاثي الأبعاد، بحيث يكون له طول وعرض وارتفاع. وبالتالي يكون لجميع المجسمات الهندسية حجم ومساحة سطح محددين. يعرَف الحجم بأنه عدد الوحدات المكعّبة اللازمة لتعبئة المجسم الهندسي بالكامل، أي عدد الوحدات المكعّبة الموجودة داخل المجسّم. وتعرَف مساحة سطح المجسمات الهندسية بأنها المساحة الكليّة التي تشغلها أوجه المجسم، أي مجموع مساحات أوجه المجسم. أمّا مساحة وجه المجسم هي عدد الوحدات المربّعة اللازمة لتعبئة وجه المجسم. بحسب التعريف، يمكن اعتبار جميع الأجسام الموجودة في الطبيعة أو جميع المواد في حالتها الصلبة مجسمات هندسية. وذلك بغض النّظر عن الحالة الهندسية للمجسّم، أي سواء كان مجسّمًا منتظمًا، أو غير منتظم.

بطريقة أبسط، يمكن إعادة تعريف المجسمات الهندسية بدلالة حركية. فيكون المجسم الهندسي هو كل جسم قابل للحركة (أي يمكن تحريكه) في جميع الاتجاهات المكانية، أي يمينًا ويسارًا، إلى الأمام والخلف، وإلى الأعلى والأسفل. وذلك مع استبعاد المواد في حالاتها الكيميائية غير الصلبة، باعتبار أن السوائل مثلًا، أو الغازات، تأخذ شكل الوعاء الذي يحتويها، أي ليس لها شكلًا هندسيًّا محدد.

أشكال المجسمات الهندسية

توجَد المجسمات الهندسية على أشكال عديدة، بينها تنوّع واختلاف كبيرين. مع ذلك، تنقسم أشكال المجسمات الهندسية إلى نوعين، هما: المجسمات الهندسية المنتظمة، والمجسمات الهندسية غير المنتظمة. تتميّز المجسمات المنتظمة بتطابق جميع وجوهها، وتكوّنها من مضلّعات منتظمة. إذ يتكوّن المضلّع المنتظم من عدّة أوجه، لكل وجه منهم نفس الشكل الهندسي (ثنائي الأبعاد) ونفس المساحة، ويكون كل شكل منهم له أضلاع متساوية الطول، وزوايا متساوية القياس. بالتالي، يمكن حساب مساحة سطح المجسم المنتطم عن طريق حساب مساحة أي وجه من أوجهه، ثم ضرب الناتج في عدد أوجه المجسم. أمّا المجسمات غير المنتظمة، فهي جميع المجسمات الهندسية الأخرى. من جهة أخرى، يبلغ عدد المجسمات الهندسيةالمنتظمة خمسة مجسمات فقط. لذلك، تظهر الحاجة إلى تقسيم أشكال المجسمات الهندسية إلى أنواع أخرى تضم عدد أكبر من الأشكال المجسمة.

يمكن تقسيم أشكال او انواع المجسمات الهندسية إلى قسمين بحسب شكل الأوجه المكوّنة للمجسم. فيكون المجسم منتظم الحجم، عندما يتكوّن من مجموعة أوجه ذات أشكال معروفة ضمن ثنائية الأبعاد (مثل الدائرة والمربع) بغضّ النظر عن كون هذه الأوجه منتظمة أم غير منتظمة، وسواء كانت متطابقة أو غير متطابقة. في حين يكون المجسم غير منتظم الحجم عندما يتعذّر تعريف شكل وجه واحد من أوجهه على الأقل.عمومًا، تعتبر العمليات اللازمة لايجاد مساحة سطح أو حجم المجسمات منتظمة الحجم أسهل وأسرع من العمليات اللازمة لحساب مساحة سطح أو حجم المجسمات غير منتظمة الحجم. لكن يمكن تسهيل حساب مساحة سطح أو حجم المجسمات غير منتظمة الحجم عن طريق إعادة تعريف الأوجه غير المنتظمة بتقسيمها بخطوط وهمية إلى أشكال أخرى منتظمة الحجم، ثم إجراء الحسابات اللازمة على المجسم، باعتبار أنه أصبح مجسمًا منتظم الحجم. يمكن كذلك ايجاد حجم المجسمات المختلفة عن طريق مقارنتها ببعضها بعضًا بالاعتماد على مبدأ كافاليري (للمجسمات) الذي يفيد بأن المجسمات التي لها نفس الارتفاع، ولها مساحات متطابقة خلال جميع المقاطع العرضية المكوِّنة للارتفاع، لها حجوم متساوية، بغض النّظر عن كون هذه المجسمات متشابهة أو غير متشابهة.

فيما يلي بعض المجسمات الشهيرة.

المنشور

المنشور، أو الموشور الهندسي، هو مجسّم يتكوّن من قاعدة مضلّعة متصلة عن طريق قطع مستقيمة متوازية بمضلّع مقابل ومطابق لها. وبالتالي يكون لأي موشور عدّة أوجه أخرى -غير الوجه المقابل للقاعدة- تسمى الأوجه الجانبية، وتكون عامودية على القاعدة. بالرغم من شيوع وعموم هذا التعريف، ألا أنه لا يشمل مجسمات أخرى تتشابه في تركيبها مع الموشورات، ويمكن حساب حجمها من خلال القاعدة العامة لحساب حجم الموشورات (مثل الأسطوانة). لذلك، يمكن أيضًا تعريف الموشور الهندسي بأنه شكل هندسي يمتد نحو الأعلى من القاعدة حتّى نقطة محددة تقع في مركز الوجه المقابل للقاعدة، وذلك بغض النّظر عن كون القاعدة مضلّعة أو غير مضلّعة. تجدر الإشارة إلى أن الموشور المضلّع يسمّى عادة بحسب عدد الأضلاع المكوِّنة لقاعدته؛ فيقال أن الموشور الذي له قاعدة مضلّع خماسي مثلًا، هو موشور خماسي، والذي له قاعدة مضلّع سداسي هو موشور سداسي، وهكذا. كذلك تسمّى عدّة موشورات بأسماء مميّزة أكثر شهرة، مثل الموشور المستطيل، والمكعّب، والأسطوانة.

تُصنّف الموشورات بحسب ميلانها أو انحدارها إلى موشورات قائمة، وموشورات مائلة. المنشور المضلّع القائم هو الذي تتصل كل حافة من حوافه (القطع المستقيمة الواصلة بين القاعدة والوجه المقابل لها) بقاعدة الموشور وبالوجه المقابل لها بشكل عامودي مستو، بحيث تصنع كل حافة زاوية قائمة (90 درجة) على القاعدة وعلى الوجه المقابل لها. أما المنشور المضلّع المائل فلا تصنع حوافه المتصلة بالقاعدة والوجه المقابل لها زوايا قائمة عليهما. أيضًا، يمكن أن تكون الأسطوانة قائمة أو مائلة، باعتبارها منشور غير مضلّع ذو قاعدة دائرية. تعتبَر الأسطوانة قائمة عندما تصنع القطعة الواصلة بين مركز الدائرة القاعدية والدائرة المقابلة لها زاوية قائمة عليهما، أي عندما يقابل مركز الدائرة القاعدية، مركز الدائرة المقابلة لها تمامًا (تقع الدائرة القاعدية أسفل الدائرة المقابلة لها تمامًا). وتعتبر الأسطوانة مائلة في حالة عدم وقوع الدائرة القاعدية أسفل الدائرة المقابلة لها تمامًا.

يمكن حساب حجم أي منشور من خلال ضرب مساحة قاعدة المنشور في ارتفاع المنشور. ويمكن حساب مساحة سطح أي منشور –مضلّع- عن طريق جمع مساحات وجوهه.

أمثلة على الموشورات الهندسية:

• المنشور المستطيل: مجسم هندسي له ستة أوجه، كل وجه منهم عبارة عن مستطيل. بالتالي، هو منشور مضلّع. وبما أن حجم أي منشور يساوي حاصل ضرب مساحة قاعدة المنشور في ارتفاعه، إذًا حجم المنشور المستطيل يساوي طوله مضروبًا في عرضه مضروبًا في ارتفاعه، باعتبار أن مساحة المستطيل تساوي طول المستطيل ضرب عرضه. أيضًا، يمكن مساحة سطح أي منشور مستطيل عن طريق القاعدة:

• المكعّب: يمكن تعريفه بالاعتماد على تعريف المنشور المستطيل، فيكون هو منشور مستطيل ذو أضلاع متساوية الطوّل. بحسب ذلك، يمكن اعتبار المكعّب الصورة ثلاثية الأبعاد للمربع، أو مربّع مجسم. وبما أن جميع أضلاع المكعّب متساوية الطّول، إذًا تتساوى أبعاده الثلاثة (الطول والعرض والارتفاع). بالتالي يمكن استنتاج أن حجم أي مكعّب يساوي طول أي ضلع من أضلاعه مرفوعًا للقوة 3، أي طول الضلع تكعيب. ومساحة سطح أي مكعّب تساوي حاصل ضرب العدد 6 (عدد أوجه المكعب) في طول أحد أضلاعه مرفوعًا للقوة 2 (طول الضلع تربيع).

• الأسطوانة: يمكن اعتبار الأسطوانة موشور ذو قاعدة دائرية. بالتالي، لها حجم يتبع قاعدة حجم الموشورات، أي لها حجم يسواوي مساحة قاعدتها الدائرية، ضرب ارتفاعها. وبالتالي حجم أي أسطوانة يساوي حاصل ضرب الثابت “باي” في مربّع نصف قطر الدائرة القاعدية (أو الدائرة المقابلة لها) في ارتفاع الأسطوانة. أمّا مساحة سطح الأسطوانة تساوي حاصل ضرب العدد 2 في الثابت “باي” في مربّع نصف قطر الدائرة، محموعًا عليهم حاصل ضرب العدد 2 في الثابت “باي” في نصف قطر الدائرة في ارتفاع الأسطوانة (2pi*r^2 + 2pi*r*h).

الهرم

مجسم هندسي له قاعدة وقمة أو رأس -عبارة عن نقطة- مقابلة لها، تنتج عن تصغير وضغط الوجه المقابل للقاعدة إلى أقصى حد. ولذلك يمكن اعتبار الهرم موشور مضلّع تم ضغط الوجه المقابل لقاعدته. مثل المنشورات، يسمّى الهرم كذلك بحسب قاعدته. مثلًا، يسمّى الهرم ذو القاعدة المربّعة “هرم مربّع”. كذلك يمكن أن يكون الهرم قائم، أو مائل. يكون قائم عندما تكون القطعة العامودية الساقطة من قمّة الهرم على القاعدة واقعة في منتصف القاعدة تمامًا، أي في مركزها. بخلاف ذلك يكون الهرم مائل. لأي هرم حجم يساوي حاصل ضرب ثلث مساحة القاعدة (قاعدة الهرم) ضرب الارتفاع. ومساحة سطح الهرم تساوي مجموع مساحات أوجهه.

المخروط

مجسم هندسي له قاعدة دائرية وقمة أو رأس مقابلة لها، تنتج عن تصغير وضغط الدائرة المقابلة للقاعدة إلى أقصى حد. ولذلك يمكن اعتبار المخروط أسطوانة تم ضغط الدائرة المقابلة لقاعدتها. تمامًا مثل الهرم، يمكن أن يكون المخروط قائم، أو مائل. ويصنّف إلى قائم أو مائل بنفس قواعد تصنيف إلى هرم قائم أو مائل. كذلك حجم أي مخروط يساوي حاصل ضرب ثلث مساحة قاعدته في ارتفاعه.

ومساحة سطح المخروط تساوي: ”الثابت “باي” * نصف قطر الدائرة القاعدية * (نصف قطر الدائرة + الارتفاع المائل)”. علمًا بأن الارتفاع المائل يساوي طول القطعة المستقيمة التي تصل بين القمة والقاعدة من أطراف المخروط.